კადომცევ–ფეტვიაშვილის გან­ტოლება

მათემატიკასა და ფიზი­კაში კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლება, რო­მელიც აღწერს არაწრფივ ტალ­ღებს სუსტი დისპერსიის მქონე ორგანზომილებიან გარემოში: x(∂tu–6u∂xu–dxxxu)=3α2yyu, სადაც u=u(t,x,y) – t დროზე და სივრცულ x,y კოორდინატებზე დამოკიდებული საძიებელი ფუნქციაა; კოეფიციენტი ɑ (საზოგადოდ, კომპლექსური რიცხვი) ახასიათებს გარემოს დისპერსიის თვისებებს. გამოიყვანეს 1970 ბ. კადომცევმა (1928 - 98) და ვ. ფეტვიაშვილმა. კ.–ფ. განტოლება განაზოგადებს მსგავსი შინაარსის მქონე კორტევეგა დე ვრიზის განტოლებას (1885), რ-იც აღწერს ერთგანზომილებიან სისტემებს. ამის გამო კ.- ფ. განტოლებას ზოგჯერ უწოდებენ კორტევეგა დე ვრიზის ორგანზომილებიან განტოლებას. მიეკუთვნება განტოლებათა კლასს, რ-თა ამოხსნა მოიძებნება გაბნევის შებრუნებული ამოცანის მეთოდით. კ.- ფ. განტოლება აღწერს ჰამილტონურ სისტემას, რ-საც გააჩნია მოძრაობის ინტეგრალთა უსასრულო რაოდენობა; ამათგან ინტეგრალებს t∫∫u2(t,x,y)dxdy=0 და t∫∫[(∂xu)2–2u3-3α2ω2]dxdy=0 და აქვს იმპულსის და  ენერგიის მუდმივობის კანონების შინაარსი იმ გარემოსთვის, რ-საც აღწერს ეს განტოლება (აქ  ω=&№8747;-&№8734;xuy(t,x,y)dx). კ.-ფ. განტოლება უკავშირდება მრავალ ცნობილ განტოლებას: კორტევეგა დე ვრიზის ჩვეულებრივ და რადიალურ განტოლებას, ბუსინესკის განტოლებას (კ.-ფ. სტაციონარული განტოლება) და სხვ. ნაპოვნია კ.-ფ. განტოლების რამდენიმე ზუსტი ამონახსნი, მ. შ. ერთგანზომილებიანი სოლიტონი, რ-იც არამდგრადია ორგანზომილებიანი შეშფოთებების მიმართ გარემოში დადებითი დისპერსიით (როცა α2 > 0),  და მდგრადია გარემოში უარყოფითი დისპერსიით (როცა α2 < 0) კ.-ფ. განტოლებით შეიძლება აღიწეროს, მაგ., გრძელი ტალღები წყლის ზედაპირზე (სურ.), ასევე ტალღები ფერომაგნიტურ გარემოში, მაღალი სიმკვრივის პლაზმაში და სხვ.

ლიტ.: К а д о м ц е в  Б. Б., П е т в и а ш в и л и  В. И. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах. «Доклады АН СССР», т. 192,с. 1970; N o v i k o v S. P. Algebraic-Geometric Solutions of the Krichever-Novikov Equation, «Theoret. Math. Phys», 1999; vol. 121, W e i s s t e i n, Eric W., Kadomtsev–Petviashvili equation, http://mathworld.wolfram.com/Kadomtsev-PetviashviliEquation.html.

 

ჯ. ჯავახიშვილი.