გეომეტრია

გეომეტრია (ბერძნ. geōmetria < gē – დედამიწა და metreō – ვზომავ), მათემატიკა|მათემატიკის დარგი, რ-იც შეისწავლის სივრცულ ფორმებსა და თანაფარდობებს. გ-ის შექმნა უძველეს ხანაში განაპირობა ადამიანის პრაქტ. მოთხოვნილებებმა (მიწის ნაკვეთის გაზომვა, მოცულობისა და ზედაპირის გამოთვლა). ყველაზე ადრინდ. თხზულებამ, რ-იც გ-ის ჩანასახს შეიცავს, ჩვენამდე მოაღწია ძვ. ეგვიპტიდან. იგი დათარიღებულია ძვ. წ. XVII ს-ით. ეგვიპტელებისათვის ცნობილი იყო უმარტივესი გეომ. ცნებები და ფაქტები. შემდგომ გ. ძირითადად განვითარდა ძვ. საბერძნეთში. გ-ის განვითარების უმნიშვნელოვანესი ეტაპია ევკლიდეს „საწყისები“. ეს შრომა შეიქმნა ძვ. წ. III ს-ში. იგი აგებული იყო იმ პრინციპებზე, რ-ებიც დღემდე ითვლება ყოველგვარი დედუქციური მეცნ. საფუძვლად. ძვ. წ. III ს-ში არქიმედემ აღმოაჩინა სხეულთა ფართობებისა და მოცულობების განსაზღვრის ახ. მეთოდები. აპოლონიოს პერგელმა (ძვ. წ. III ს.) შექმნა მოძღვრება კონუსური კვეთების შესახებ, ხოლო ჰიპარქემ (ძვ. წ. II ს.) – ტრიგონომეტრიის საწყისები. ახ. წ. I ს-ში მენელაე ალექსანდრიელმა შეისწავლა სფეროს გ. (3 წიგნი – „სფერიკები“). შემდგომში (XVI ს. ჩათვლით) გ. ნაკლებინტენსიურად ვითარდებოდა. გეომ. საკითხები სრულიად ახ. კუთხით განიხილა რ. დეკრატმა]. მან შექმნა კოორდინატთა მეთოდი, რ-მაც გზა გაუხსნა გ-ში ალგებრისა და ანალიზის მეთოდების გამოყენებას. ამ დროიდან დაიწყო გ-ის სწრაფი განვითარება. შეიქმნა ანალიზური გეომეტრია, რ-იც ალგებრის მეთოდებით შეისწავლიდა ალგებრული განტოლებებით მოცემულ წირებსა და ზედაპირებს. XVIII ს-ში, მას შემდეგ, რაც ეილერი ლეონარდ|ლ. ეილერმა და ფრანგმა მათემატიკოსმა გ. მონჟმა (1746–1818) გლუვი წირებისა და ზედაპირების შესასწავლად მათ. ანალიზის მეთოდები გამოიყენეს, საფუძველი ჩაეყარა დიფერენციალური გეომეტრია|დიფერენციალურ გეომეტრიას. ტექ. განვითარებამ განაპირობა სხეულის სიბრტყეზე გამოსახვის მეთოდების შესწავლის აუცილებლობა – შეიქმნა გეგმილური გ. და მხაზველობითი გეომეტრია (ფრანგი მათემატიკოსები ჟ. დეზარგი, (1591–1661) პასკალი ბლეზ|ბ. პასკალი, გ. მონჟი). დედამიწის ზედაპირის ფორმის შესწავლა მოითხოვდა ზედაპირების შემსწავლელი ზოგადი გეომ. მეთოდის შექმნას. ამ მიმართულებით დიდი წვლილი მიუძღვის კ. გაუსს, რ-მაც თხზულებაში „ზოგადი გამოკვლევები მრუდი ზედაპირების შესახებ“ (1827) საფუძველი ჩაუყარა ზედაპირთა შინაგანი გ-ის შესწავლას. XIX ს. II მეოთხედამდე გ. შეისწავლიდა იმ სივრცული სხეულების ფორმებსა და თანაფარდობებს, რ-თა თვისებები გამომდინარეობდა ევკლიდეს მიერ ჩამოყალიბებული აქსიომებიდან. 1826 ლობაჩევსკი ნიკოლაი|ნ. ლობაჩევსკიმ და 1831 მისგან დამოუკიდებლად უნგრ. მათემატიკოსმა ი. ბოიაიმ (1802–60) შექმნეს ახ. გ. (ამჟამად ცნობილია ლობაჩევსკის „გ-ის“ სახელწოდებით), ევკლიდეს ერთ-ერთი აქსიომა, რ-ის თანახმადაც, სიბრტყეზე მოცემული წრფის გარეთ მდებარე წერტილებზე არ შეიძლება გავავლოთ ამ წრფის პარალელური ერთზე მეტი წრფე ლობაჩევსკიმ შეცვალა ახ. აქსიომით, რ-ის თანახმადაც, სიბრტყეზე წრფის გარეთ მდებარე წერტილზე შეიძლება მოცემული წრფის პარალელური ერთზე მეტი წრფის გავლება. აღმოჩნდა, რომ ლობაჩევსკის გ. ისევე არაწინააღმდეგობრივია, როგორც ევკლიდეს გ. გ-ის განვითარების ახ. ხანა, რ-საც დასაბამი მისცა ლობაჩევსკის აღმოჩენამ, ხასიათდება სხვადასხვა გეომ. თეორიისა და ახ. „გემეტრიების“ (გეგმილური გ., აფინური გ. და სხვ.) განვითარებითა და განზოგადებით. გერმ. მათემატიკოსმა ჰ. გრასმანმა (1809–77) ნაშრომში „მოძღვრება განფენილი სიდიდეების შესახებ“ (1844) პირველმა ჩამოაყალიბა მოძღვრება მრავალგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის შესახებ. მისმა ნაშრომმა დასაბამი მისცა ვექტორული და ტენზორული აღრიცხვების განვითარებას. პრინციპულად ახ. იდეა წამოაყენა რიმანი ბერნჰარდ|ბ. რიმანმა. 1854 მან ჩამოაყალიბა სივრცის, როგორც ნებისმიერი ერთგვაროვანი ობიექტების ან მოვლენების უწყვეტი ერთობლიობის, განზოგადებული ცნება – ე. წ. რიმანული სივრცის, კონცეფცია, სადაც მანძილთა გაზომვა შეიძლება ნებისმიერი კანონის მიხედვით უსასრულოდ მცირე ნაბიჯებით. რიმანულ სივრცეებს ფართოდ იყენებენ მექანიკასა და ფიზიკაში. ამ პერიოდიდან გ. მჭიდროდ უკავშირდება მათ. მრავალ სხვა დარგს. 1872 გერმ. მათემატიკოსმა ფ. კლაინმა (1849–1925) მის შრომებში „ერლან გენის პროგრამა“ ჩამოაყალიბა ერთიანი ზოგადალგებრული მიდგომა სხვადასხვა გეომეტრების აღსაწერად.

XIX ს. დასასრულს გადაწყდა ევკლიდური და სხვა „გეომეტრიების“ აქსიომატური აგების (დაფუძნების) საკითხი ჰილბერტი დავიდ|დ. ჰილბერტი და სხვ.).

XIX ს-ში საფუძვლიანად ვითარდებოდა კლასიკური დიფერენც. გ-ის იდეები. გ-გან წარმოიშვა ახ. დისციპლინები (მაგ., ტოპოლოგია და სხვ.). საქართველოში მათ. შინაარსის უძველესი ქართული ხელნაწერები, რ-ებიც ამჟამად მოიპოვება, განეკუთვნება შუა საუკუნეებს, მიუხედავად ამისა, ეჭვგარეშეა, რომ საქართველოში მათემატიკა, კერძოდ გ., საკმაოდ განვითარებული უნდა ყოფილიყო. ამას მოწმობს საქართველოში არსებული უძველესი მატერ. კულტურის ძეგლები. ქართულ მათ. ხელნაწერთა შორის ყველაზე ვრცელია ის, რ-საც ზოგიერთი მკვლევარი ბატონიშვილი იოანე|იოანე ბატონიშვილს მიაკუთვნებს (H–2180, ხელნაწ. ინ-ტი). ამ ხელნაწერში მათ. სხვა საკითხებთან ერთად გადმოცემულია გ-თან დაკავშირებული საკითხებიც. საქართველოში მათ. განვითარებისათვის უდიდესი მნიშვნელობა ჰქონდა თსუ-ის დაარსებას (1918). ამ დროიდან იწყება ფართო სამეცნ. კვლევა გ-ში. ნიკოლაძე გიორგი|გ. ნიკოლაძემ 20-იან წლებში გამოიკვლია სიბრტყის წირებისა და სივრცის ზედაპირების ალგებრული სისტემები და მათთან დაკავშირებული კონფიგურაციები (დაწვრილებით იხ. სტატიაში ალგებრული გეომეტრია). 30-იან წლებში იწყება მუშაობა ტენზორულ პროექციულ-დიფერენციალურ გ-ში. შეიქმნა წირთა ბრტყელი ბადეების შინაგანი გეომ. ინვარიანტული თეორია, რ-იც გამოიყენეს ზედაპირთა თეორიაში და განაზოგადეს მრავალგანზომილებიან შემთხვევაზე.

დადგინდა ვაილის (კერძოდ რიმანის) კონფორმული წყვილის კავშირი სამგანზომილებიანი პროექციული სივრცის წრფეთა კონგრუენციის თეორიასთან და ტენზორულ-ინვარიანტული სახით შეიქმნა ლაპლას-დარბუს მიმდევრობათა თეორია ([ჩახტაური ადამ|[ა. ჩახტაური და სხვ.). მიმდინარეობს კვლევა აგრეთვე აფინურ-დიფერენც., პროექციულ, არაევკლიდურ, დისკრეტულ, კომბინატორულ და სხვ. გ-ებში.

ლიტ.: ცხაკაია დ., მათემატიკის ისტორია უძველესი საუკუნეებიდან XVII საუკუნემდე, თბ., 1948; მისივე, მათემატიკის ისტორია XVII საუკუნიდან XIX საუკუნის მეორე ნახევრამდე, თბ., 1965.